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96. Unique Binary Search Trees
Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?
Example:
Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3给定一个有序序列 1 … n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 … (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) … n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。
在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。
可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。
给定序列 1 … n，我们选出数字 i 作为根，则对于根 i 的不同二叉搜索树数量 \(F(i, n)\)，是左右子树个数的笛卡尔积，如下图所示:
公式推到过程
\$G_{(n)} \text { 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数 }\$
\$F_{(i, n)} \text { 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。 }\$
\$G_{n}=\sum_{i=1}^{n} F_{(i, n)} = F_{(1, n)} + F_{(2, n)} + ... + F_{(n-1, n)} + F_{(n, n)}\$
\$F_{(i, n)} = G_{(i-1)} \cdot G_{(n-i)}\$
\$G_{(n)} = \sum_{i=1}^n G_{(i-1)} \cdot G_{(n-i)} = G_{0} \cdot G_{(n-1)} + ... + G_{(n-1)} \cdot G_{0}\$
\$C_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} C_{n} \text { 明安图数 或 卡特兰数}\$
\$F_{(i, n)} \text { 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。 }\$
\$G_{n}=\sum_{i=1}^{n} F_{(i, n)} = F_{(1, n)} + F_{(2, n)} + ... + F_{(n-1, n)} + F_{(n, n)}\$
\$F_{(i, n)} = G_{(i-1)} \cdot G_{(n-i)}\$
\$G_{(n)} = \sum_{i=1}^n G_{(i-1)} \cdot G_{(n-i)} = G_{0} \cdot G_{(n-1)} + ... + G_{(n-1)} \cdot G_{0}\$
\$C_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} C_{n} \text { 明安图数 或 卡特兰数}\$
| 注意：题目要是二叉搜索树！ |
没想到这里还埋了一个数学知识：Catalan number：
\$C_{0}=1 \quad \text { and } \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n} C_{i} C_{n-i} \quad \text { for } n \geq 0\$
\$C_{0}=1 \text { and } C_{1}=1\$
\$C_{n}=\sum_{i=1}^{n} C_{i-1} C_{n-i} \quad\$
\$C_{0}=1, \quad C_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} C_{n}\$
\$C_{0}=1 \text { and } C_{1}=1\$
\$C_{n}=\sum_{i=1}^{n} C_{i-1} C_{n-i} \quad\$
\$C_{0}=1, \quad C_{n+1}=\frac{2(2 n+1)}{n+2} C_{n}\$
附加题：参考资料显示，关于 Catalan number 有好多好玩的东西可以把玩。查资料把玩把玩。
参考资料
Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?
Example:
Input: 3
Output: 5
*Explanation:
*Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
1
2
3
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27
28
29
30
31
32
/**
* Runtime: 0 ms, faster than 100.00% of Java online submissions for Unique Binary Search Trees.
* Memory Usage: 38.2 MB, less than 5.55% of Java online submissions for Unique Binary Search Trees.
*
* Copy from: https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-by-leetcode/[不同的二叉搜索树 - 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）]
*/
public int numTreesCatalanNumber(int n) {
long C = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
}
return (int) C;
}
/**
* Runtime: 0 ms, faster than 100.00% of Java online submissions for Unique Binary Search Trees.
* Memory Usage: 36 MB, less than 5.55% of Java online submissions for Unique Binary Search Trees.
*
* Copy from: https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-by-leetcode/[不同的二叉搜索树 - 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）]
*/
public int numTrees(int n) {
int[] g = new int[n + 1];
g[0] = 1;
g[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
g[i] += g[j - 1] * g[i - j];
}
}
return g[n];
}
1
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3
4
5
6
7
8
9
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11
12
public int numTrees(int num) {
int[] r = new int[num + 1];
r[0] = 1;
r[1] = 1;
for (int n = 2; n <= num; n++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
r[n] += r[i - 1] * r[n - i];
}
}
return r[num];
}