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51. N-Queens
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.
Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where Q and . both indicate a queen and an empty space respectively.
Example:
Input: 4 Output: [ [".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // Solution 2 "Q...", "...Q", ".Q.."] ] Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above.
解题分析
八皇后问题是回溯思想的经典题目。
当在棋盘上放置了一个皇后后，立即排除当前行，列和对应的两个对角线。这里有一点可以优化：我们从上向下进行尝试，所以，只需要判断当前行以上的相关节点是否冲突即可。另外，先检查再渐进点，合适之后，再向前走，可以做到有效地剪枝。
这里有个知识点需要注意：
对于所有的主对角线有 行号 + 列号 = 常数；
对于所有的次对角线有 行号 - 列号 = 常数。
如下图所示：
利用回溯解题时，只回溯一半，然后将每个解反转即可求得另外一般解。这里有个细节需要注意：如果长度是奇数，而且第一行中间是合法位置，则在回溯过程中已经产生了对称解法。就不需要再反转了。。
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/**
* Runtime: 4 ms, faster than 64.59% of Java online submissions for N-Queens.
* Memory Usage: 41.3 MB, less than 5.41% of Java online submissions for N-Queens.
*/
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
int[][] matrix = new int[n][n];
List<List<String>> result = new ArrayList<>();
backtrack(matrix, 0, 0, result);
int size = result.size();
if (size == 0) {
return result;
}
for (int i = 0; i < size; i++) {
List<String> om = result.get(i);
// 如果长度是奇数，而且第一行中间是合法位置，则在回溯过程中已经产生了对称解法。
if (!(n % 2 == 1 && om.get(0).charAt(getMid(n)) == 'Q')) {
List<String> nm = reverseMatrix(om);
result.add(nm);
}
}
return result;
}
private List<String> reverseMatrix(List<String> matrix) {
List<String> result = new ArrayList<>(matrix.size());
for (String s : matrix) {
StringBuilder sb = new StringBuilder(s);
result.add(sb.reverse().toString());
}
return result;
}
private void backtrack(int[][] matrix, int y, int step, List<List<String>> result) {
int length = matrix.length;
if (step == length) {
result.add(matrixToList(matrix));
return;
}
for (int xi = 0; xi < length; xi++) {
if (y == 0) {
int mid = getMid(length);
if (mid < xi) {
break;
}
}
if (isValid(matrix, y, xi)) {
matrix[y][xi] = 1;
backtrack(matrix, y + 1, step + 1, result);
matrix[y][xi] = 0;
}
}
}
private int getMid(int length) {
return length % 2 == 0 ? length / 2 - 1 : length / 2;
}
private List<String> matrixToList(int[][] matrix) {
List<String> result = new ArrayList<>(matrix.length);
for (int y = 0; y < matrix.length; y++) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int x = 0; x < matrix[0].length; x++) {
if (matrix[y][x] == 0) {
sb.append(".");
} else {
sb.append("Q");
}
}
result.add(sb.toString());
}
return result;
}
private boolean isValid(int[][] matrix, int y, int x) {
int len = matrix.length;
// 同列
for (int i = 0; i < y; i++) {
if (matrix[i][x] == 1) {
return false;
}
}
// // 同行
// for (int i = 0; i < len; i++) {
// if (i != x && matrix[y][i] == 1) {
// return false;
// }
// }
// 左上角
for (int i = 1; i < len && y - i >= 0 && x - i >= 0; i++) {
if (matrix[y - i][x - i] == 1) {
return false;
}
}
// 右上角：从右上角到最下角的对角线，他们 "行号 + 列号 = 常数"
int sum = x + y;
for (int yi = y - 1; yi >= 0 && 0 <= sum - yi && sum - yi < len; yi--) {
if (matrix[yi][sum - yi] == 1) {
return false;
}
}
return true;
}
第二次自己实现，没有使用反转，感觉更容易理解。
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/**
* 自己实现
*/
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
if (n <= 0) {
return Collections.emptyList();
}
int[][] board = new int[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
Arrays.fill(board[i], 0);
}
List<List<String>> result = new ArrayList<>();
backtrack(result, board, 0, 0);
return result;
}
private void backtrack(List<List<String>> result, int[][] board, int index, int count) {
int length = board.length;
printMatrix(board);
if (length < count) {
return;
}
if (length == count) {
List<String> r = new ArrayList<>(length);
for (int[] ints : board) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int n : ints) {
if (n == 1) {
sb.append("Q");
} else {
sb.append(".");
}
}
r.add(sb.toString());
}
result.add(r);
}
for (int i = index; i < length * length; i++) {
int row = i / length;
int col = i % length;
if (!isValid(board, row, col)) {
continue;
}
board[row][col] = 1;
backtrack(result, board, i, count + 1);
board[row][col] = 0;
}
}
private boolean isValid(int[][] board, int row, int col) {
int length = board.length;
for (int i = 0; i < length; i++) {
if (board[i][col] == 1) {
return false;
}
if (board[row][i] == 1) {
return false;
}
}
for (int i = 0; i < length; i++) {
if (0 <= row - i && 0 <= col - i
&& board[row - i][col - i] == 1) {
return false;
}
if (row + i < length && col + i < length
&& board[row + i][col + i] == 1) {
return false;
}
if (0 <= row - i && col + i < length
&& board[row - i][col + i] == 1) {
return false;
}
if (row + i < length && 0 <= col - i
&& board[row + i][col - i] == 1) {
return false;
}
}
return true;
}